순서를 지우는 셈
다섯 개 중 두 개를 순서 있게 고르면 5×4=20가지다. 한 쌍의 두 원소를 고르는 순서가 두 번씩 세어지므로 2!로 나누어 10가지를 얻는다. 일반적인 k개 선택에서도 같은 선택의 순서 k!개를 나누어 제거한다.
고르지 않은 쪽 보기
일곱 개에서 두 개를 고르는 것은 남길 다섯 개를 정하는 것과 일대일로 대응한다. 따라서 C(7,2)=C(7,5)=21이다. n개에서 하나도 고르지 않는 방법과 모두 고르는 방법은 각각 하나이므로 C(n,0)=C(n,n)=1이다.
파스칼의 관계
특정 원소 하나를 포함하는 선택과 포함하지 않는 선택으로 나누면 C(n,k)=C(n−1,k−1)+C(n−1,k)가 된다. 이 관계로 이항계수를 줄마다 배열한 파스칼 삼각형을 만들 수 있다. 경계의 값은 1로 두고 안쪽 값은 위의 두 값을 더한다.
전개식의 계수
(a+b)³에서 a²b의 계수는 C(3,1)=3이다. 세 괄호 가운데 어느 하나에서 b를 고를지 세 가지이기 때문이다. 나머지 괄호에서는 a를 고른다. 이런 선택의 원리가 이항정리의 각 계수를 만든다.