입력 상태 안정성

상계의 두 부분

β는 초기 상태 크기에 따라 커지지만 시간이 지나면 0으로 감소하는 함수이고, γ는 0에서 0이며 입력 크기에 따라 증가하는 함수다. ‖u‖∞는 입력의 최대 크기를 본질적 상한으로 나타낸다. 이 식은 초기 상태에서 생긴 응답이 사라진 뒤에도 지속 입력에 따른 상태 편차가 남을 수 있음을 표현한다.

안정한 한 변수의 계산

ẋ=−2x+u에서 해는 x(t)=e^(−2t)x₀+∫₀ᵗe^(−2(t−s))u(s)ds다. 입력 크기가 U 이하이면 |x(t)|≤e^(−2t)|x₀|+(U/2)(1−e^(−2t))를 얻는다. 따라서 β(r,t)=e^(−2t)r, γ(U)=U/2를 사용할 수 있다. 상수 입력 u=0.4이면 상태는 원점이 아니라 0.2로 수렴한다.

입력이 작아지면 보장도 작아짐

앞의 예제에서 입력 상한을 0.4에서 0.1로 줄이면 장기 상태 크기의 상계는 0.2에서 0.05로 줄어든다. 입력이 0이면 γ(0)=0이므로 초기 상태 영향만 남아 원점으로 수렴한다. 반대로 유계 입력이 있다는 이유만으로 상태가 원점에 수렴한다고 말할 수는 없다. 입력에 대한 상계와 실제 정상 상태 값도 일반적으로 같지는 않다.

무입력 안정성과의 차이

ISS는 무입력 시스템의 전역 점근 안정성을 포함하지만, 비선형 시스템에서는 무입력 전역 점근 안정성만으로 ISS가 따라오지 않는다. 입력이 상태에 의존하는 계수로 증폭될 수 있기 때문이다. 또한 특정 출력만 유계라는 주장과 전체 상태의 상계는 다르다. 분석 대상 상태, 입력의 노름과 허용 범위를 명확히 정해야 한다.