두 조건을 함께 확인한다
상한 후보 M은 먼저 S의 모든 원소보다 크거나 같아야 한다. 동시에 다른 어떤 상계 U에 대해서도 M≤U여야 한다. 상계 하나를 찾았다는 사실만으로 상한을 찾은 것은 아니다.
열린구간의 예
(0,2)의 상한은 2이다. 2는 상계이고 2보다 작은 실수는 구간 안의 어떤 원소보다 작아 상계가 되지 못한다. 그러나 2가 구간에 속하지 않으므로 최댓값은 없다.
최댓값이 있으면
집합에 최댓값이 있으면 그 값은 상한이 된다. [0,2]에서는 최댓값과 상한이 모두 2이다. 반대로 상한이 존재한다고 최댓값이 반드시 존재하는 것은 아니다.
실수의 완비성과 연결
공집합이 아니고 위로 유계인 실수 부분집합은 실수인 상한을 갖는다. 이 성질은 실수 체계의 중요한 특징이다. 다른 순서 집합에서도 자동으로 같은 존재 정리가 성립한다고 가정해서는 안 된다.