집합을 옮기는 곱셈
gH라는 표기는 원소 하나가 아니라 H의 각 원소 h에 gh를 대응시킨 결과 전체다. g를 바꾸어도 같은 잉여류가 나올 수 있다. 따라서 군의 원소마다 잉여류 이름을 하나씩 만들었다고 서로 다른 집합이 그만큼 생기는 것은 아니다.
짝수와 홀수의 예
정수의 덧셈군에서 H를 짝수들의 부분군이라고 하자. 덧셈 표기에서는 잉여류를 g+H라고 쓴다. 0+H는 짝수 전체이고 1+H는 홀수 전체다. 3+H도 홀수 전체여서 1+H와 같은 잉여류다. 이 경우 정수 전체는 두 잉여류로 나뉜다.
동치류로 보는 구조
xH=yH라는 조건은 x⁻¹y가 H에 속한다는 조건과 같다. 같은 왼쪽 잉여류에 속한다는 관계는 동치관계가 되므로 왼쪽 잉여류들은 G를 서로 겹치지 않는 부분들로 분할한다. 각 부분의 크기는 H와 같고, 그 개수를 부분군의 지수라고 한다.
왼쪽과 오른쪽의 차이
일반적인 군에서는 곱셈 순서를 바꿀 수 없으므로 gH와 Hg가 같다고 가정할 수 없다. 모든 g에 대해 두 집합이 같으면 H는 정규부분군이다. 잉여류를 만든다고 각 잉여류 자체가 부분군이 되는 것도 아니며, 항등원을 포함하는 잉여류는 H 자체다.