적분으로 정의한다
모수 m을 사용하는 규약에서 K(m)=∫₀^(π/2)1/√(1−m sin²t)dt다. 실수 m<1이면 적분 안의 제곱근이 양수인 유한한 값을 갖는다. 완전이라는 말은 이 정의에서 위끝을 π/2로 고정했다는 뜻이며, 근사 계산을 하지 않았다는 뜻과는 다르다. 위끝이 변하는 불완전 타원적분과 구별한다.
모듈러스와 모수
다른 표현에서는 같은 적분 안에 1−k²sin²t를 사용하고 K(k)라는 기호를 쓰기도 한다. 이때 입력의 대응은 m=k²다. 예를 들어 모듈러스 k=1/2의 값을 구하려면 모수 규약에서는 m=1/4를 넣는다. 기호 K만 보고 동일한 숫자를 넣으면 다른 적분을 계산할 수 있으므로 식이나 모수 정의를 함께 확인해야 한다.
작은 모수에서의 전개
m=0에서는 적분 안이 1이어서 K(0)=π/2다. (1−u)^(−1/2)=1+u/2+3u²/8+⋯에 u=m sin²t를 넣고 항별 적분하면 K(m)=(π/2)(1+m/4+9m²/64+⋯)를 얻는다. 양의 작은 m에서 K가 π/2보다 커지는 방향도 확인할 수 있다. 유한 항으로 자른 전개는 근사이며 적용 범위와 생략항을 따로 검토해야 한다.
m=1 부근의 변화
m=1에서는 적분 안의 함수가 1/cos t가 되어 위끝 π/2에서 적분이 발산한다. 따라서 1에 가까운 입력과 정확히 1인 입력을 같은 유한값으로 다루면 안 된다. 부동소수점에서 1−m 같은 작은 차이를 구할 때 입력 정밀도도 중요하다. 전용 함수의 모수 규약과 특수 구간 처리, 계산하려는 값의 정의역을 함께 확인한다.