제2종 완전 타원적분

제곱근을 적분한다

모수 m 규약에서 E(m)=∫₀^(π/2)√(1−m sin²t)dt다. 0≤m≤1이면 적분은 실수이며 유한하다. 제1종 완전 타원적분 K는 같은 제곱근을 분모에 두므로 다른 함수다. 기호가 비슷하고 적분 구간이 같아도 서로 대체할 수는 없다.

두 끝값의 계산

m=0이면 적분 안이 1이어서 E(0)=π/2다. m=1이면 0부터 π/2에서 √(1−sin²t)=cos t이므로 E(1)=1이다. 같은 m=1에서 제1종 K는 발산하지만 E는 유한하다. 모수를 늘리면 각 t에서 제곱근이 작아지므로 이 구간의 E는 감소하는 방향을 갖는다.

타원의 둘레

긴 반축 a, 짧은 반축 b이고 a≥b>0인 타원의 둘레는 4aE(1−b²/a²)다. a=5,b=3이면 입력 모수는 1−9/25=16/25이고 둘레는 20E(16/25)다. 편심률 자체 √(16/25)=4/5를 모수 입력에 넣는 것은 다른 값이다. a=b=5이면 입력이 0이 되어 둘레가 20×π/2=10π로 원의 식과 일치한다.

형상과 단위

두 반축을 같은 양의 배율 c로 늘리면 비 b²/a²는 변하지 않고 앞의 4a만 c배가 된다. 따라서 둘레도 c배여서 길이 단위의 변환과 맞는다. 완전 적분과 위끝이 변하는 불완전 적분도 구분해야 한다. 수치 함수를 선택할 때 모수 m인지 모듈러스 k인지 확인하고, 타원의 반축 길이와 전체 축 길이를 혼동하지 않는다.