아이디얼 전체에 대한 조건
정역 안에서 특정 아이디얼 하나가 주아이디얼이라는 사실만으로 PID가 되지는 않는다. 영아이디얼과 환 전체를 포함한 모든 아이디얼이 주아이디얼이어야 한다. 영아이디얼은 (0), 환 전체는 (1)로 생성된다.
최대공약수와 생성원
PID에서 a,b로 생성된 아이디얼을 (d)로 쓰면 d는 a,b의 최대공약수다. d는 두 원소를 나누며, 모든 공약수는 d를 나눈다. 또한 d가 (a,b)에 속하므로 d=ra+sb로 표현된다. 정수환에서는 (8,14)=(2)이고 2=2×8−14다.
대표적인 예
정수환은 모든 아이디얼이 nℤ 꼴이므로 PID다. 체 K 위의 한 변수 다항식환 K[x]도 PID다. 하지만 변수가 두 개가 되면 K[x,y]의 (x,y)는 원소 하나로 생성되지 않아 PID가 아니다. 변수 수를 늘려도 같은 성질이 유지된다고 가정할 수 없다.
다른 정역과의 관계
모든 유클리드 정역은 PID이고 모든 PID는 유일 인수분해 정역이다. 역방향들은 일반적으로 성립하지 않는다. 따라서 인수분해의 유일성을 알고 있다는 이유만으로 모든 아이디얼이 하나의 생성원을 갖는다고 결론 내릴 수 없다.
관련 문서
주아이디얼 / 아이디얼 / 정역 / 정수 / 최대공약수 / 체 (수학) / 유클리드 정역 / 유일 인수분해 정역