기본 형태
서로 독립이고 같은 분포를 따르는 X₁,…,Xₙ의 평균을 X̄ₙ으로 쓰자. 공통 평균이 μ이고 분산이 유한한 양수 σ²이면 √n(X̄ₙ−μ)/σ의 분포는 n이 커질 때 표준정규분포로 수렴한다. 이 기본 형태는 관측값 자체가 정규분포라는 가정을 요구하지 않는다.
평균의 변동을 보기
독립인 관측값 n개의 평균은 분산이 σ²/n이므로 표준편차가 σ/√n이다. 중심극한정리의 표준화는 평균에서 μ를 빼고 이 변동 척도로 나누는 것이다. 표본이 커질수록 평균의 산포가 줄어드는 것과 표준화한 분포의 모양을 구별한다.
개별 자료와 평균의 분포
공정한 주사위 한 번의 눈은 여섯 값에 같은 확률을 갖는다. 시행 횟수를 늘려도 개별 주사위 눈의 분포는 그대로다. 변하는 것은 여러 독립 시행을 묶어 만든 평균의 분포다. 이를 통해 종 모양 근사가 어디에 적용되는지 구분할 수 있다.
고정된 횟수의 보장은 아니다
몇 번 이상이면 언제나 정확한 정규근사가 된다는 보편적인 경계는 없다. 원래 분포의 치우침이나 꼬리, 의존성 등이 근사의 적절성에 영향을 준다. 유한 분산이나 독립 같은 가정이 맞지 않을 때에는 기본 정리를 그대로 적용할 수 없다.