그림에는 끝이 있지만 직선에는 없다
종이에 그린 선은 길이와 두께가 있지만 수학적 직선은 두께 없이 무한히 이어지는 대상으로 다룬다. 두 점 사이 부분만 택하면 선분, 한 점에서 한쪽으로만 뻗으면 반직선이 된다.
두 점으로 정해지는 방향
유클리드 평면에서는 서로 다른 두 점을 잇는 직선이 유일하다. 한 점만으로는 방향이 정해지지 않으므로 무수히 많은 직선이 그 점을 지난다. 두 직선이 서로 다른 두 점을 모두 공유한다면 같은 직선이다.
방정식으로 나타내기
좌표평면의 직선은 a와 b가 동시에 0이 아닌 ax+by+c=0으로 표현할 수 있다. 수직선까지 포함하려면 y=mx+n 형태만으로는 충분하지 않다. 기울기를 하나의 수로 나타낼 수 없는 수직선이 있기 때문이다.
공간에서 만나는 방식
한 평면 위의 서로 다른 두 직선은 한 점에서 만나거나 평행할 수 있다. 삼차원 공간에서는 만나지 않으면서 평행하지도 않은 꼬인 위치의 직선들이 존재한다. 평면의 그림에서 익힌 관계를 공간 전체로 그대로 일반화하지 않아야 한다.