소수를 한 번씩 더하는 θ
θ(x)는 x 이하에 있는 각 소수 p의 ln p를 더한다. 예를 들어 θ(6)=ln 2+ln 3+ln 5다. 소수의 개수를 그대로 더하는 것이 아니라 각 소수에 서로 다른 로그 가중치를 준다. 합에 포함할 소수가 없는 0≤x<2에서는 값이 0이다.
소수 거듭제곱도 세는 ψ
ψ(x)는 소수 p뿐 아니라 p², p³ 등의 거듭제곱이 x 이하에 있는 경우도 반영한다. x=6이면 2, 3, 4, 5가 기여하여 ψ(6)=2ln 2+ln 3+ln 5다. 4에서는 ln 4가 아니라 밑 소수의 ln 2를 더한다.
폰 망골트 함수의 누적 합
ψ(x)는 1≤n≤x에서 폰 망골트 함수 Λ(n)를 더한 값이다. 따라서 소수 거듭제곱이 아닌 정수에서는 새 기여가 없다. 두 함수 모두 계단 모양이며 정의의 부등호가 ≤이므로 경계의 소수 또는 소수 거듭제곱에서 새 로그 항이 이미 합에 포함된다.
점근식의 의미
x가 커질 때 θ(x)/x와 ψ(x)/x는 모두 1로 수렴한다. 이는 두 함수가 모든 x에서 정확히 x와 같다는 뜻이 아니라 비율의 극한에 관한 말이다. 또한 θ와 ψ는 소수를 가중하여 합하므로 소수 계수 함수 π(x)의 값과 혼동하지 않아야 한다.