존재를 보장하는 정리
f(x)=x²은 [−1,2]에서 연속이므로 최댓값과 최솟값이 존재한다. 실제로 최솟값은 x=0에서 0, 최댓값은 x=2에서 4다. 정리는 그런 값이 있다는 것을 보장하지만 계산 절차나 위치를 자동으로 알려 주지는 않는다.
열린구간의 예
f(x)=x는 (0,1)에서 연속이지만 최댓값과 최솟값을 갖지 않는다. 양 끝을 포함하지 않아 0과 1에 닿지 않기 때문이다. 구간이 닫혀 있어야 한다는 조건을 빼면 연속성만으로 결론을 보장할 수 없다.
유계 조건
f(x)=x는 실수 전체에서 연속이지만 위나 아래로 제한되지 않는다. 실수 전체는 닫힌 집합이지만 유계구간이 아니므로 기본 정리의 조건을 만족하지 않는다. 무한히 뻗은 범위와 유한한 양 끝을 갖는 구간은 구분해야 한다.
미분과의 관계
최대 최소 정리에 미분 가능성은 필요하지 않다. |x|처럼 뾰족한 점이 있어도 닫힌 유계구간에서 연속이면 적용된다. 반대로 실제 최댓값과 최솟값을 찾는 과정에서는 미분계수와 끝점 비교를 이용할 수 있다.