할선과 평행한 접선
그래프의 양 끝점을 잇는 할선의 기울기는 평균변화율이다. 정리의 조건을 만족하면 내부 어딘가의 접선이 그 할선과 같은 기울기를 갖는다. 그림이 그럴듯한지를 넘어 함수의 조건을 통해 존재를 보장한다.
계산으로 확인
f(x)=x²을 [1,3]에서 보면 평균변화율은 4다. 도함수 2x가 4가 되는 c=2가 내부에 있다. 일반적으로 그 점이 구간의 중점이라고 정리가 말하는 것은 아니며 함수에 따라 위치가 달라진다.
롤의 정리와 연결
양 끝 함수값이 같으면 평균변화율이 0이므로 롤의 정리 형태가 된다. 반대로 함수에서 양 끝점을 잇는 일차함수를 빼 롤의 정리를 적용하면 평균값 정리를 설명할 수 있다.
도함수와 증감
한 구간에서 도함수가 항상 양수이면 서로 다른 두 입력 사이 평균변화율도 양수가 되어 함수가 엄격히 증가한다. 이 관계는 도함수의 부호로 함수의 증감을 판단하는 근거다. 불연속이나 미분 불가능한 점이 있는 구간에 조건을 확인하지 않고 적용해서는 안 된다.