차수를 세는 방법
디감마 함수 ψ는 lnΓ의 1차 도함수다. 따라서 ψ의 n차 도함수인 폴리감마는 lnΓ의 n+1차 도함수다. 위첨자 (n)은 n제곱이 아니라 미분 차수를 나타낸다. ψ^(1)(x)를 ψ(x)의 제곱이나 감마 함수 자체의 1차 도함수로 읽으면 다른 함수가 된다.
트리감마의 양의 급수
양의 x에서 트리감마는 ψ′(x)=Σ_{k≥0}1/(k+x)²로 나타낼 수 있다. 모든 항이 양수이므로 ψ′(x)>0이고 디감마는 양의 실수 구간에서 증가한다. lnΓ의 2차 도함수가 양수라는 뜻이기도 하므로 로그 감마 함수의 볼록성과 연결된다. 양의 입력에서 얻은 이 부호 설명을 극점이 있는 다른 구간에 아무 조건 없이 확장하지 않는다.
점화식으로 차이 계산
디감마의 ψ(x+1)=ψ(x)+1/x를 한 번 미분하면 ψ′(x+1)=ψ′(x)−1/x²다. 따라서 ψ′(2)−ψ′(4)=1/2²+1/3²=13/36이다. 디감마는 증가하지만 트리감마는 이 관계에서 다음 양의 정수로 갈 때 작아진다. 서로 다른 미분 차수의 변화 방향을 구분하는 예다.
정확한 값과 수치 계산
ψ′(1)=Σ_{j≥1}1/j²=π²/6이다. 점화식으로 ψ′(2)=π²/6−1을 얻는다. 비슷한 크기의 항들을 빼는 수치 표현에서는 정확한 관계식과 실제 부동소수점 정밀도를 구분해야 한다. 0과 음의 정수에는 극점이 있으므로 입력과 근사 구간을 확인하고, 고차 미분을 단순한 유한차분만으로 계산할 때는 오차 증폭도 검토한다.