제곱 위상의 진동
S(x)=∫₀ˣsin(πt²/2)dt, C(x)=∫₀ˣcos(πt²/2)dt로 정의하자. 보통의 sin t, cos t 적분과는 위상이 다르다. 위상의 도함수가 πt이므로 양의 t가 커질수록 진동이 빨라진다. 적분값은 앞선 진동 구간들이 서로 상쇄된 결과여서 함수 자체의 크기만으로 누적값을 판단하기 어렵다.
원점 근처의 형태
삼각함수 급수를 넣으면 S(x)=πx³/6−π³x⁷/336+⋯이고 C(x)=x−π²x⁵/40+⋯다. 따라서 작은 x에서 C는 x에 가깝지만 S는 세제곱 차수에서 시작한다. 두 함수는 모두 원점에서 0이고 홀함수다. 다만 원점 도함수는 C′(0)=1, S′(0)=0으로 서로 다르다.
두 적분으로 만드는 곡선
평면 곡선을 (C(x),S(x))로 놓으면 접선 벡터는 (cos(πx²/2),sin(πx²/2))다. 이 벡터의 길이는 1이므로 매개변수 변화량이 곡선의 호 길이 변화량과 일치한다. 접선 방향각의 변화율은 πx여서 곡률의 크기는 π|x|다. 단순히 좌표별 진동을 그린 그래프와 이 매개곡선을 구분해야 한다.
정규화와 극한
실수 x를 양의 무한대로 보낼 때 두 적분은 모두 1/2로 접근하지만, 그 과정이 단조롭게 증가하는 것은 아니다. 위상에서 π/2를 생략한 다른 정의도 있으므로 값이나 극한을 비교할 때 변수 치환에 따른 배율을 맞춰야 한다. 빠른 진동 구간을 직접 수치 적분한다면 표본 간격과 상쇄 오차를 확인하고 전용 함수 계산과 독립적인 성질을 함께 점검한다.