행과 열의 의존성을 나눈다
m행 n열 확률행렬 X에서 U는 m×m, V는 n×n 크기의 공분산 인자다. 원소 사이의 공분산은 Cov(X_ij,X_kl)=U_ik V_jl로 나타난다. 행 번호의 관계와 열 번호의 관계가 곱으로 결합되는 분리 가능한 구조다. 모든 원소가 서로 독립이라는 뜻은 아니며, 모든 가능한 공분산을 두 인자로 표현할 수 있다는 뜻도 아니다.
원소 분산의 예
U의 대각 원소가 1,4이고 V의 대각 원소가 2,3이며 두 행렬이 대각행렬이라고 하자. 2×2 확률행렬의 원소 분산은 첫 행이 2와 3, 둘째 행이 8과 12다. 원소의 분산은 U나 V의 해당 대각값 하나가 아니라 두 값의 곱이다. U_12=0.5, V_11=2처럼 비대각 성분이 있으면 같은 첫 열의 두 원소 사이 공분산은 1이 된다.
벡터화 순서
열을 하나씩 이어 붙이는 벡터화에서는 공분산이 V⊗U다. 2×2 행렬이면 순서는 X_11,X_21,X_12,X_22다. 행을 먼저 이어 붙이면서 같은 공분산 배열을 그대로 사용하면 원소 관계를 잘못 대응시킬 수 있다. 평균 행렬도 같은 순서로 벡터화해야 하며, 수식의 벡터화 규약과 자료 저장 순서를 구분해 확인한다.
공분산 인자의 해석
양의 c에 대해 U를 cU로, V를 V/c로 바꾸면 두 인자의 크로네커 곱은 그대로다. 따라서 전체 분포를 안다고 해서 U와 V의 개별 크기가 추가 조건 없이 유일하게 정해지는 것은 아니다. 표준적인 비특이 밀도에서는 두 인자가 대칭 양의 정부호여야 한다. 이 구조가 자료에 맞는지 검토하고, 행과 열을 나누어 표현했다는 이유만으로 복잡한 의존성이 모두 설명됐다고 단정하지 않는다.