문제를 구성하는 요소
계산 영역과 방정식, 초기·경계 조건, 신경망과 학습 조건을 정의한다. 신경망의 출력뿐 아니라 도함수로 만든 방정식 잔차를 학습에 활용한다. 라이브러리 사용과 특정 문제의 수치적 정확성은 구분해야 한다.
잔차의 독립 예제
u′(x)=2x, u(0)=0이라는 문제를 생각하자. 후보 uθ(x)=ax²이면 잔차는 2(a−1)x이고 초기 조건은 모든 a에서 만족한다. a=1이면 방정식 잔차도 0이다. 이 예는 잔차 학습의 원리이며 실제 API 사용 코드는 아니다.
순방향과 역문제
방정식 계수와 조건으로 해를 구하는 것이 순방향 문제다. 일부 관측값으로 미지 계수 등을 추정하면 역문제가 된다. 역문제는 관측 위치와 잡음, 식별 가능성에 따라 해석이 달라지며 학습 손실이 작다고 유일한 계수를 찾았다는 뜻은 아니다.
오차를 확인하기
학습에 사용하지 않은 위치의 방정식 잔차와 조건 오차를 확인한다. 기준 해가 있으면 해 자체의 오차도 비교한다. 영역의 일부에서만 점을 선택하면 다른 구간의 오차를 놓칠 수 있으므로 표본 배치와 잔차가 큰 영역의 추가 점검이 중요하다.
관련 문서
DeepONet / 푸리에 신경 연산자 / 자동 미분 / 편미분방정식 / 신경망 / 역문제