양의 정부호 조건과의 차이
켤레기울기법의 표준 조건은 대칭 양의 정부호다. MINRES는 대칭성을 이용하되 양과 음의 고유값이 함께 있는 부정부호 행렬도 다룬다. 행렬이 대칭이라는 조건을 임의의 비대칭행렬까지 확장하면 안 된다.
첫 후보를 계산하기
A의 대각 원소를 2와 -1, b를 (1,1), 시작 해를 (0,0)으로 두자. 첫 크릴로프 공간의 후보 해는 (c,c)다. 잔차의 제곱 노름은 (1-2c)²+(1+c)² = 5c²-2c+2이므로 c=1/5에서 가장 작다. 첫 후보는 (1/5,1/5)다.
잔차와 해의 오차는 다르다
예제의 정확한 해는 (1/2,-1)이다. 첫 후보의 잔차는 (3/5,6/5)이며 제곱 노름은 9/5다. 처음 잔차의 제곱 노름 2보다 줄었지만 아직 정확한 해는 아니다. 최소 잔차라는 말은 현재 탐색 공간 안에서의 최선이라는 뜻이다.
대칭성을 계산에 활용하기
란초스 과정의 삼중대각 구조를 이용해 작은 최소제곱 문제를 갱신한다. 일반 행렬에 대한 GMRES와 목적은 비슷하지만 대칭 구조에 맞춘 짧은 점화식을 사용한다. 잔차가 줄어드는 기준과 해의 오차가 줄어드는 기준을 구분하고 실제 잔차로 종료 조건을 확인한다.
관련 문서
란초스 반복법 / GMRES / 켤레기울기법 / 크릴로프 부분공간 / 양의 정부호 행렬 / 대칭행렬 / 최소제곱법