측정 오차를 목적함수로
알려진 벡터 aᵢ에 대해 yᵢ=|aᵢ* x|²를 측정했다고 하자. 후보 z가 예측하는 |aᵢ* z|²와 yᵢ의 차이를 제곱해 합한 비볼록 함수를 줄인다. 복소수 변수에는 실수와 허수 성분의 미분을 일관되게 다루는 Wirtinger 미분을 사용할 수 있다.
초기 추정이 필요한 이유
방법은 측정값으로 가중한 aᵢaᵢ*들의 합에서 주요 고유벡터 방향을 찾고 크기를 조절하는 스펙트럼 초기화를 사용한다. 임의의 0벡터에서 시작하는 것과 다르다. 비볼록 함수에서 작은 기울기가 반드시 올바른 해를 뜻하지 않으므로 초기화 조건과 갱신 규칙이 분석의 중요한 부분이다.
실수 한 차원의 갱신 예제
측정 y=4인 실수 문제의 설명용 목적함수를 f(z)=(z²−4)²/4로 두면 미분은 z(z²−4)다. z=1에서 스텝 0.1로 경사 갱신하면 1−0.1×(−3)=1.3이다. 손실은 2.25에서 약 1.334로 줄어든다. 하지만 z=0에서는 기울기가 0이어서 같은 갱신으로 움직이지 않는다. 이 예제는 전체 복소 알고리즘의 성능 보장이 아니라 초기화의 의미를 보여 준다.
복원 가능성의 범위
특정 무작위 측정이나 부호화 회절 모형에서는 적절한 초기화와 측정 수 아래 수렴을 분석할 수 있다. 이 결과를 임의의 광학 측정에 그대로 적용하지 않는다. 원래 신호와 공통 위상만 다른 후보는 같은 세기를 만들며, 잡음과 측정 모형의 불일치는 복원 오차에 영향을 준다.