PhaseLift

이차식을 선형식으로 바꾸기

측정 yᵢ=|aᵢ* x|²는 X=xx*를 도입하면 yᵢ=tr(aᵢaᵢ*X)가 된다. 행렬 X는 양의 준정부호이고 신호가 0이 아니면 랭크 1이다. 행렬을 도입해 측정식은 선형이 되지만 차원이 n에서 n×n으로 커지고 랭크 조건은 그대로 비볼록이다.

작은 실수 예제

x=(1,2)ᵀ이면 X=[[1,2],[2,4]]다. 측정 벡터가 (1,0), (0,1), (1,1)일 때 세기는 1,4,9다. 이를 행렬식으로 쓰면 X₁₁=1, X₂₂=4, X₁₁+2X₁₂+X₂₂=9이므로 X₁₂=2를 얻는다. x 대신 −x도 같은 X와 측정을 만든다. 이는 변환을 설명하는 예제이며 세 측정이 모든 차원에서 충분하다는 주장은 아니다.

볼록 완화의 역할

대표 PhaseLift 구성은 선형 측정식을 만족하는 양의 준정부호 X의 대각합을 최소화한다. 랭크 1을 직접 요구하지 않는 완화다. 특정 무작위 측정 모형과 충분한 측정 수 아래 원래의 랭크 1 행렬이 복원된다는 결과가 있지만, 임의의 측정 배치에서 항상 그렇다는 뜻은 아니다.

신호로 돌아가기

랭크 1 해를 얻으면 그 고유벡터와 고유값을 이용해 신호를 복원할 수 있다. 공통 위상은 세기 측정만으로 구별되지 않는다. 잡음이 있거나 해가 랭크 1에서 벗어났을 때는 근사와 오차를 함께 다룬다. 큰 행렬을 저장하고 최적화하는 비용도 벡터 공간의 비볼록 방법과 비교할 때 중요하다.