화학공학과 공간도형의 연결
중공사막은 속이 빈 가는 섬유 형태의 막이다. 여러 가닥을 묶은 모듈을 같은 외반지름 r의 원기둥들이 z축과 평행하게 놓인 모형으로 단순화한다. 단면 중심이 (x₁,y₁), (x₂,y₂)인 두 가닥이 겹치지 않으려면 √((x₁-x₂)²+(y₁-y₂)²)≥2r이어야 한다. 공간좌표의 원기둥 배치를 평면의 원 배치 문제로 바꾼 것이다.
정사각 배열의 계산
이웃한 원이 맞닿는 정사각 격자에서는 한 원에 대응하는 반복 영역의 넓이가 (2r)²=4r²이다. 원의 외곽 단면 넓이는 πr²이므로 경계 효과를 무시한 충전율은 π/4, 약 78.5%이다.
삼각 격자 배열의 계산
이웃 중심 간 거리가 2r이고 격자 벡터 사이 각도가 60도인 배열을 생각한다. 한 원에 대응하는 평행사변형의 넓이는 (2r)²sin60°=2√3r²이다. 따라서 충전율은 π/(2√3), 약 90.7%이다. 이는 무한히 반복되는 이상 배열의 비교이며 유한한 원통 용기에 그대로 적용되는 정확한 가닥 수 공식은 아니다.
탐구를 구체화하는 방법
같은 r과 용기 반지름 R을 정하고 각 배열의 중심좌표를 만든다. 중심이 용기 중심에서 R-r 이하에 있으며 원끼리 겹치지 않는지 확인해 가닥 수 N을 센다. 용기 단면에서의 충전율은 Nπr²/(πR²)로 비교한다. 간격을 추가하거나 용기 크기를 바꾸어 이상 배열의 값과 실제 경계 효과의 차이를 표로 정리할 수 있다. 이는 학습용 모형 탐구 제안이다.
분리 성능으로 일반화하지 않기
실제 모듈은 흐름과 압력 변화, 막의 길이 및 치수도 고려한다. Lim 등의 2017년 전산 연구는 충전율과 섬유 길이 등이 투과 유량 분포에 영향을 준다고 보고했다. 따라서 기하학적으로 많이 넣을 수 있다는 결과만으로 실제 처리량이 가장 크다고 결론 내리지 않는다. 속 빈 내부까지 막 재료로 채워졌다고 계산하는 것도 아니다. 위 충전율은 섬유 외곽 원이 차지하는 영역의 비율이다.
출처
Fabrication of lab-scale hollow fiber membrane modules with high packing density, 2004, 공개 초록 및 미리보기. Computational Studies for the Design Parameters of Hollow Fibre Membrane Modules, 2017, 공개 초록. 기하 계산은 명시한 모형에서 직접 유도했다. 2026년 11월 5일 확인.