가우스 라게르 구적법

지수 가중치가 있는 적분

대상은 ∫₀^∞ exp(−x)f(x)dx이고 근사식은 Σw_i f(x_i)다. 무한 구간을 임의의 큰 숫자에서 잘라 등간격으로 계산하는 것과 다른 구성이다. 가중치 exp(−x)는 공식에 이미 반영되어 있다. 함수 평가에 exp(−x)를 다시 넣거나, 원래 적분에 가중치가 없는데 아무 변환 없이 이 공식을 적용하면 다른 적분이 된다.

한 점과 두 점의 차이

한 점 공식은 x=1,가중치 1을 사용한다. f(x)=x이면 적분값 1을 정확히 얻지만 f(x)=x²에서는 근삿값 1과 실제 값 2가 다르다. 두 점 공식은 2−√2,2+√2를 사용하며 대응 가중치는 (2+√2)/4,(2−√2)/4다. 두 가중치의 합은 1이고, 이 공식은 3차 이하 다항식에 정확하다.

감쇠율을 바꾸는 변수 변환

λ>0인 ∫₀^∞ exp(−λx)g(x)dx에서는 u=λx로 두어 (1/λ)∫₀^∞ exp(−u)g(u/λ)du로 바꾼다. 예를 들어 λ=2,g(x)=x이면 한 점 공식으로 (1/2)g(1/2)=1/4을 얻으며 정확한 적분값과 같다. 평가점을 λ로 나누는 조정과 바깥 계수 1/λ를 모두 반영해야 한다.

확률과 일반화 형식

평균 1인 지수분포의 밀도는 exp(−x)이므로 이 구적법은 해당 분포의 기댓값을 계산하는 형태로도 해석할 수 있다. 그러나 유한한 점의 가중합이 연속분포 전체와 같아지는 것은 아니다. x^α exp(−x) 가중치를 사용하는 일반화 라게르 구적은 α라는 추가 조건을 갖는 다른 형식이다. 구적표를 사용할 때는 가중치와 적분 구간을 함께 대조한다.