생존함수와 위험률
x≥0에서 생존함수를 S(x)=exp(−c(exp(x/s)−1))로 나타낼 수 있다. 미분해 얻는 밀도를 S(x)로 나누면 위험률 h(x)=(c/s)exp(x/s)가 된다. 위험률은 아직 사건을 겪지 않았다는 조건에서의 순간 발생률이며, 누적확률이나 일정 구간의 발생 확률과 같은 값이 아니다.
증가율과 남을 확률
c=1,s=2라면 x=0의 위험률은 1/2이고 x=2ln2에서는 1이다. 이때 exp(x/s)=2이므로 생존확률은 exp(−1), 약 0.368이다. 위험률 1을 얻었다고 생존확률이 0이거나 사건이 확실히 발생했다는 뜻은 아니다. 시간 단위가 있다면 위험률은 그 역수 단위를 가지며 생존확률은 단위가 없다.
분위수 계산
누적확률 p에 대응하는 값을 구하려면 exp(−c(exp(x/s)−1))=1−p를 푼다. 결과는 x=s ln(1−ln(1−p)/c)다. c=1,s=2에서 중앙값은 2ln(1+ln2)로 약 1.053이다. 이는 모수 s=2와 다르므로 척도를 중앙값으로 그대로 해석해서는 안 된다.
성장 곡선과의 차이
곰페르츠라는 이름은 누적 성장 형태를 설명하는 곡선에도 쓰이지만, 그 이름만으로 같은 확률변수나 같은 모수 의미를 갖는 것은 아니다. 표현식과 정의역을 확인해야 한다. 실제 자료에서 위험률이 계속 증가한다는 가정이 적절한지도 검토한다. 특정 구간에 맞춘 모형을 관측하지 않은 범위까지 확장할 때는 모수와 형태의 불확실성을 함께 고려해야 한다.