선택 가능한 조합을 센다
종류 i의 전체 개수를 m_i, 뽑은 개수를 x_i, 모집단 총수를 M, 표본 크기를 n이라고 하자. 가능한 x_i는 0부터 m_i 사이의 정수이고 합은 n이다. 순서 없이 고른 n개 부분집합이 모두 같은 확률이라면 해당 개수 벡터의 확률은 각 조합수 C(m_i,x_i)의 곱을 C(M,n)으로 나눈 값이다. 범주 개수만 기록하므로 대상들이 나온 순서는 결과에서 제외한다.
세 색 구슬의 예
빨강 2개, 파랑 3개, 초록 1개인 총 6개에서 3개를 비복원으로 뽑자. 색마다 하나씩 나올 조합은 C(2,1)C(3,1)C(1,1)=6개이고 전체 조합은 C(6,3)=20개다. 따라서 확률은 0.3이다. 같은 구성 비율을 매번 복원해 사용하는 다항 시행에서는 각각 하나씩 나올 확률이 6×(2/6)×(3/6)×(1/6)=1/6으로 달라진다.
전체를 뽑으면 변동이 사라진다
종류 i의 평균 추출 수는 nm_i/M이다. 한 종류의 비율 p_i=m_i/M를 사용하면 분산은 np_i(1−p_i)(M−n)/(M−1)이다. M>1에서 이 마지막 인자는 유한 모집단의 효과다. n=M이면 모든 대상을 뽑으므로 분산이 0이 된다. 비율이 같더라도 모집단 크기와 추출 비율에 따라 개수의 변동이 달라질 수 있다.
모형의 전제
대상마다 선택될 가능성이 다르거나 특정 종류를 더 선호해 뽑으면 기본 초기하 모형과 조건이 다르다. 표본을 다시 모집단에 넣는지도 확인해야 한다. 범주가 두 개면 한쪽 개수는 일반적인 초기하분포로 줄어들고 다른 개수는 n에서 뺀 값이다. 여러 범주의 개수는 합 제약으로 연결되므로 독립적인 분포들을 따로 맞춰 조합하는 방식과 구별한다.