함수와 운동 방정식
라그랑지안 Lθ(q, v)를 신경망으로 표현한다. 외력이 없는 기본 구성에서 d/dt(∂L/∂v)−∂L/∂q=0을 이용해 가속도를 계산한다. 정준 운동량을 입력으로 먼저 알아야 하는 해밀토니안 표현과 구분된다.
독립적인 진동계 예제
L=v²−4q²이면 ∂L/∂v=2v이고 ∂L/∂q=−8q다. 따라서 2q″+8q=0이므로 가속도는 −4q다. q=0.5에서 가속도는 −2다. 이는 미분 구조의 예시이며 신경망 학습을 거친 결과는 아니다.
에너지와 라그랑지안
시간에 명시적으로 의존하지 않는 경우 대응하는 에너지는 E=v·∂L/∂v−L로 표현한다. 위 예에서는 E=v²+4q²다. 따라서 L 자체를 언제나 총에너지라고 부르면 안 된다. 보존 성질과 실제 데이터에 맞는 함수를 학습했는지도 별개다.
계산 조건
가속도 계산에는 속도에 대한 이차 미분 구조가 중요하다. 그 행렬이 특이하거나 조건이 나쁘면 안정적인 계산이 어려울 수 있다. 좌표의 제약과 외력, 수치 적분 오차를 확인하고 예측 궤적 및 보존량을 함께 검증한다.
관련 문서
해밀토니안 신경망 / 신경 상미분방정식 / 라그랑주 역학 / 오일러 라그랑주 방정식 / 자동 미분 / 에너지 보존 법칙