수의 형태와 소수성
n=5이면 2⁵−1=31로 소수다. 반면 n=4이면 2⁴−1=15로 합성수다. 같은 형태의 수를 메르센 수라고 부르며 그중 실제 소수인 것을 메르센 소수라고 구별한다.
지수가 합성수일 때
n=rs이고 r과 s가 모두 1보다 크면 2ʳ−1이 2ⁿ−1의 약수가 된다. xˢ−1이 x−1로 인수분해된다는 성질에 x=2ʳ를 넣어 확인할 수 있다. 그래서 합성수 지수에서는 메르센 소수가 나오지 않는다.
소수 지수의 반례
11은 소수지만 2¹¹−1=2047=23×89다. 따라서 지수를 소수로 제한하는 것은 후보를 줄이는 필요조건이며 최종 소수 판정을 대신하지 않는다.
짝수 완전수와 연결
2ᵖ−1이 소수이면 2ᵖ⁻¹(2ᵖ−1)은 짝수 완전수다. p=3에서는 4×7=28을 얻는다. 이 연결에서도 2ᵖ−1의 소수 조건이 중요하며 임의의 지수에 식을 적용한다고 모두 완전수가 되지는 않는다.