제곱근의 부호
실수에서 √A는 A≥0일 때 정의하는 음이 아닌 제곱근이다. 따라서 √(x+2)=x라는 식에서는 x+2≥0뿐 아니라 오른쪽 x도 0 이상이어야 한다. 근호 안만 확인해서는 조건이 충분하지 않다.
제곱해 후보 구하기
앞의 식을 제곱하면 x+2=x²이므로 (x−2)(x+1)=0이다. 후보는 2와 −1이지만 원래 식에는 2만 들어맞는다. x=−1에서는 왼쪽이 1이고 오른쪽이 −1이다.
추가 후보가 생기는 이유
두 수가 같으면 제곱한 값도 같지만 제곱한 값이 같다고 원래 두 수가 항상 같은 것은 아니다. 반대 부호인 두 수도 제곱하면 같다. 이 때문에 제곱은 조건 없이 항상 동치변형이 되지 않는다.
처음부터 모순인 식
√(x+1)=−2는 실수 범위에서 해가 없다. 왼쪽이 음이 아닌데 오른쪽이 음수이기 때문이다. 무조건 제곱을 시작하기 전에 식의 부호와 정의 조건을 살피면 불필요한 계산을 줄일 수 있다.