모든 두 점에 대한 조건
한 쌍의 점을 연결한 선분이 안에 들어간다는 사실만으로는 충분하지 않다. 집합에서 어떤 두 점을 선택해도 같은 조건이 성립해야 한다. 조건을 깨는 한 쌍을 찾으면 볼록하지 않음을 보일 수 있다.
표면과 채워진 영역
원판은 볼록하지만 원의 둘레만 모은 집합은 볼록하지 않다. 둘레에서 마주 보는 두 점을 잇는 선분은 중심을 지나며 중심은 둘레에 속하지 않기 때문이다. 집합에 내부를 포함하는지가 중요하다.
좌표로 확인하기
두 점 x와 y 사이의 선분은 0≤t≤1인 값에 대해 tx+(1−t)y로 나타낸다. t=0과 t=1에서는 양 끝점이 되고 t=1/2에서는 중점이 된다. 이 점들이 모두 집합에 남는지 확인한다.
교집합과 합집합
여러 볼록집합의 공통부분에서는 두 점을 잇는 선분이 각 집합에 모두 남으므로 교집합도 볼록하다. 합집합은 반드시 그렇지는 않다. 서로 떨어진 두 원판을 합치면 두 원판 사이를 잇는 선분의 일부가 빠진다.