함수 하나가 아닌 가족
∫2x dx=x²+C는 상수 C의 선택에 따라 여러 함수를 나타낸다. x², x²+1, x²−7 모두 같은 2x를 도함수로 갖는다. 적분상수를 빼면 원시함수 전체가 아니라 특정한 한 함수를 선택한 셈이 된다.
거듭제곱 예
n이 0 이상의 정수이면 ∫xⁿdx=xⁿ⁺¹/(n+1)+C다. 미분하면 앞의 n+1과 분모가 상쇄되어 xⁿ이 된다. 모든 지수에 무조건 같은 식을 적용해서는 안 되며 지수가 −1이면 분모가 0이 되어 이 형태를 사용할 수 없다.
계산을 확인하기
∫(3x²+2)dx=x³+2x+C다. 결과를 미분하면 다시 3x²+2가 된다. 적분을 먼저 구한 뒤 미분으로 검산하는 것은 계수나 항을 빠뜨렸는지 확인하는 방법이다.
정적분과의 연결
정적분은 양 끝 a,b가 있는 구간에서 값을 구한다. 적절한 연속 조건 아래 원시함수 F를 이용하면 ∫ₐᵇf(x)dx=F(b)−F(a)다. 부정적분에 상수 C가 있어도 두 끝의 차에서 상쇄된다.
관련 문서
원시함수 / 정적분 / 적분상수 / 미적분학의 기본정리 / 미분 / 도함수 / 거듭제곱