항을 하나씩 더하기
1,3,5,7,…의 부분합은 1,4,9,16,…이다. 원래 수열의 네 번째 항은 7이고 네 번째 부분합은 16이다. 항의 번호가 같아도 가리키는 값은 다르다.
부분합에서 항 찾기
Sₙ=n²이면 n≥2에서 aₙ=n²−(n−1)²=2n−1이다. 첫 항은 a₁=S₁로 따로 확인한다. S₀=0을 정의하면 차이의 관계를 첫 항에도 같은 형태로 쓸 수 있다.
유한한 덧셈의 묶음
등차수열의 첫 n항을 더할 때는 첫 항과 마지막 항을 짝지어 합을 구할 수 있다. 부분합은 유한한 합이므로 먼저 보통의 덧셈과 대수 계산으로 다룬 뒤 n이 커지는 극한을 살핀다.
수렴을 보는 기준
각 부분합은 유한한 값이어도 그 수열이 수렴한다는 보장은 없다. 1+1+…의 n번째 부분합은 n이므로 한없이 커진다. 무한급수의 합은 부분합의 장기적인 거동으로 판단한다.