유한합의 공식
Sₙ=a+ar+…+arⁿ⁻¹에 r을 곱한 식을 빼면 (1−r)Sₙ=a(1−rⁿ)이다. r≠1이면 양변을 1−r로 나누어 부분합 공식을 얻는다. r=1이면 Sₙ=na로 따로 계산한다.
무한합의 조건
|r|<1이면 rⁿ이 0으로 가므로 부분합이 a/(1−r)에 수렴한다. 예를 들어 3+1+1/3+…은 a=3, r=1/3이어서 합은 9/2다.
음의 공비
1−1/2+1/4−…도 |r|=1/2<1이므로 수렴하며 합은 2/3이다. 공비가 음수여도 절댓값이 1보다 작으면 부분합의 진동 폭이 줄어든다.
공식의 적용 범위
1+2+4+…에 a/(1−r)를 그대로 대입하여 합을 −1이라고 할 수 없다. 이 급수는 통상적인 부분합 극한의 의미로 발산한다. 첫 항이 0이면 모든 항이 0이 되는 예외도 구별한다.