작아지는 항
1/n은 n이 커질수록 작아져 0으로 간다. 그러나 작아진 항들이 무한히 더해질 때 부분합이 유한한 값에 머무는지는 별도의 문제다. 조화급수는 이 차이를 보여 주는 대표적인 예다.
묶어서 비교하기
1/3+1/4≥1/2이고 1/5+…+1/8≥1/2다. 이후에도 1/(2ᵐ+1)부터 1/2ᵐ⁺¹까지의 2ᵐ개 항은 각각 1/2ᵐ⁺¹ 이상이므로 묶음의 합은 1/2 이상이다.
부분합이 커지는 이유
앞의 묶음을 계속 만들면 적어도 1/2만큼 더해지는 묶음이 끝없이 나타난다. 따라서 부분합은 어떤 고정된 상한 아래에도 머물 수 없다. 항이 천천히 작아지는 것만으로 충분한 합의 감소가 생기지 않는 셈이다.
등비급수와 비교
1+1/2+1/4+…은 공비가 1/2인 등비급수여서 합이 2다. 조화급수와 첫 두 항이 같더라도 이후 항의 감소 방식이 달라 수렴 여부도 달라진다. 몇 개의 항만 보고 무한합을 판단할 수는 없다.