분해 중에 0이 채워지는 이유
두 행렬 인자의 원소가 드문드문 있다고 해서 곱도 같은 위치에서만 0이 아닌 것은 아니다. 소거 과정에서는 원래 0이던 위치에 새로운 원소가 생길 수 있다. 불완전 분해는 이 채움이나 작은 원소의 보관을 제한해 인자를 덜 조밀하게 유지한다.
곱에 새로운 원소가 생기는 예제
A의 세 행을 (4,1,1), (1,4,0), (1,0,4)로 두자. 첫 열을 소거할 때 둘째와 셋째 행에서 첫 행의 1/4을 뺀다. 그러면 원래 0이던 둘째 행 셋째 열과 셋째 행 둘째 열에 -1/4이 생긴다. 완전한 분해에는 이 영향이 이어진다.
ILU(0)의 0은 오차가 아니다
ILU(0)는 기본적으로 원래 희소 패턴 밖의 채움을 허용하지 않는 방식이다. 괄호 속 0은 분해 오차가 0이라는 뜻이 아니다. 예제처럼 새로 생기는 원소의 보관을 막으면 그 위치의 효과가 생략되어 일반적으로 LU와 A 사이에 차이가 남는다.
저장량과 풀이 성능을 함께 보기
더 많은 원소를 남기면 근사가 좋아질 수 있지만 저장량과 삼각 시스템 풀이 비용도 커진다. 전처리 적용은 보통 L과 U를 이용한 풀이로 수행하며 역행렬 전체를 만들 필요가 없다. 인자가 작다는 사실만으로 전체 반복 계산이 빨라진다고 보장할 수는 없다.