행렬 크기와 선형성
A가 m×m, B가 n×n이면 C와 X는 m×n이다. X가 정사각 행렬일 필요는 없다. 미지수 X에 대한 연산은 선형이지만 곱의 순서가 중요하다. 일반적으로 AX와 XB를 (A+B)X처럼 합칠 수 없으며, A와 B의 크기가 다르면 A+B 자체가 정의되지 않는다.
대각 행렬의 예제
A의 대각 원소가 1,2이고 B의 대각 원소가 3,4라 하자. 이때 X의 i행 j열 원소에는 A의 i번째 대각값과 B의 j번째 대각값의 합이 곱해진다. C의 두 행이 (4,10),(15,24)이면 원소별 분모는 각각 4,5,5,6이므로 X의 두 행은 (1,2),(3,4)이다. 대각 행렬이기 때문에 원소별 계산으로 분리되는 특별한 경우다.
유일성과 상쇄
A의 고유값과 -B의 고유값이 겹치지 않으면 모든 C에 대해 해가 유일하다. 겹치는 경우에는 해가 없거나 여러 개일 수 있다. 일차원에서 A=2, B=-2이면 왼쪽은 항상 0이 된다. C=1이면 해가 없고 C=0이면 모든 X가 해다. 행렬들이 각각 가역이어도 이런 상쇄를 막을 수 없다는 예제다.
수치적으로 풀기
대표적인 수치 방법은 A와 B의 슈어 분해를 이용해 더 단순한 행렬 방정식으로 바꾸어 푼다. 벡터화해 큰 선형 연립방정식으로 표현할 수도 있지만 저장과 계산 부담을 고려해야 한다. 계산 뒤 AX+XB-C의 잔차를 확인하되, 작은 잔차만으로 해의 오차가 작다고 단정해서는 안 된다. 고유값이 상쇄에 가까운 경우 등에서는 문제의 민감도도 살핀다.