대각화와는 다른 분해다
복소수 슈어 형식에서 T의 대각 원소는 A의 고유값이다. 다만 대각선 위에 0이 아닌 원소가 남을 수 있으므로 대각화와 동일하지 않다. 대각화할 수 없는 행렬도 슈어 분해로 표현할 수 있다.
Q의 모든 열이 고유벡터는 아니다
두 행이 (1,3), (0,2)인 행렬 A에서는 Q를 단위행렬, T를 A로 두면 된다. 첫 열 (1,0)은 고유값 1의 고유벡터다. 하지만 둘째 열 (0,1)에 A를 곱하면 (3,2)가 되어 원래 방향과 나란하지 않다. 슈어 벡터를 전부 고유벡터라고 부르면 안 된다.
실수 형식의 이차 블록
두 행이 (0,-1), (1,0)인 회전 행렬의 고유값은 i와 -i다. 실수 슈어 형식에서는 이 행렬 자체가 하나의 이차 대각 블록이 될 수 있다. 그 대각 원소 0과 0을 각각 고유값이라고 읽으면 잘못이다. 실수 형식과 복소수 상삼각 형식의 구분이 필요하다.
계산에서의 활용
행렬 함수를 계산할 때 원래 행렬 대신 삼각 형태를 이용하는 데 쓰인다. 조르당 표준형과 달리 변환 행렬에 유니터리 조건을 사용한다. 실제 결과를 검사할 때는 곱이 원래 행렬을 재현하는지와 Q의 직교 또는 유니터리 조건을 함께 확인한다.