미분을 어디에 적용하는가
방정식 x점=f(x)에 시험 함수 φ를 곱해 적분한다. 구간 양 끝에서 φ가 0이면 부분적분으로 −∫φ′x=∫φf(x)를 얻는다. 왼쪽에서 측정값 x를 직접 미분하지 않고 미리 정한 φ의 미분을 사용한다. 끝값이 0이 아니면 경계항을 포함해야 한다.
일차 함수의 확인 예제
구간 [0,1]에서 x(t)=t, φ(t)=t(1−t)라고 하자. 왼쪽은 −∫₀¹(1−2t)t dt=1/6이고 오른쪽은 x점=1이므로 ∫₀¹t(1−t)dt=1/6이다. 정확한 함수에서는 두 값이 같다. 실제 표본에서는 이 적분도 수치적으로 근사해야 한다.
적분 사전에서 회귀하기
여러 시험 함수와 구간을 사용해 후보 함수의 가중 적분을 열로 모으고 계수를 희소 회귀로 추정한다. 서로 겹치는 적분 구간의 오차는 상관될 수 있으므로 각 적분값을 무조건 독립 관측으로 보는 것은 적절하지 않을 수 있다. 시험 함수의 폭과 위치도 결과에 영향을 준다.
잡음이 없어지는 것은 아니다
적분은 점별 미분의 잡음 증폭을 완화할 수 있지만 잘못된 후보 사전이나 부족한 표본을 해결하지는 않는다. 수치 적분 오차와 관측 잡음, 비선형 함수에 잡음이 들어갈 때의 편향을 함께 고려한다. 같은 자료를 여러 번 적분했다고 독립적인 새 궤적을 얻는 것도 아니다. 추정 식은 별도 궤적에서도 검증한다.