공간 미분을 사전에 추가하기
스칼라 장 u(x,t)를 관측하면 시간 미분 uₜ를 반응값으로 두고 u, uₓ, uₓₓ, uuₓ 같은 후보를 열로 모을 수 있다. 이 사전의 소수 열을 선택해 uₜ를 설명한다. 공간과 시간을 따라 충분히 표본을 얻어야 하며 무엇을 미분할 수 있는지도 관측 설계에 달려 있다.
확산 계수의 예제
참 변화가 uₜ=0.3uₓₓ라고 하자. 어느 표본에서 uₓₓ=−2라면 uₜ=−0.6이고 다른 표본에서 uₓₓ=4라면 uₜ=1.2다. 이상적인 두 값은 같은 계수 0.3으로 설명된다. 그러나 다른 후보 열이 uₓₓ와 같은 값을 내는 자료라면 이 관측만으로 어떤 항이 원인인지 구별할 수 없다.
여러 초기 조건의 역할
한 궤적에서 후보항들이 강하게 연결돼 있으면 서로 다른 방정식이 비슷한 예측을 할 수 있다. 여러 초기 조건에서 얻은 시공간 자료를 함께 사용하면 이런 모호성을 줄이는 데 도움이 된다. 자료의 양을 늘리는 것과 식별에 유용한 변화를 늘리는 것은 같은 일이 아니다.
미분 오차와 최종 검증
공간 고차 미분과 시간 미분은 측정 잡음에 민감하다. 경계 부근의 미분 추정과 매끄럽게 하는 과정도 회귀 결과에 영향을 준다. 작은 회귀 잔차만 확인하지 않고 추정한 방정식을 다른 초기 조건에서 풀어 관측과 비교한다. 후보 사전 밖의 항은 자동으로 발견되지 않으며 계수의 단위와 스케일도 확인한다.