계수가 변하는 미분방정식
y″=xy는 y에 곱하는 계수가 x에 따라 달라지는 선형 2차 미분방정식이다. 상수 계수 방정식처럼 고정된 지수함수 하나를 모든 x에서 해로 넣는 방식과 다르다. 두 독립해 Ai,Bi를 사용하면 y=c_1Ai+c_2Bi로 나타낼 수 있다. 어떤 해를 선택할지는 주어진 초기값이나 경계조건에 달려 있다.
원점에서의 급수 관계
y=a_0+a_1x+a_2x²+⋯를 방정식에 대입하면 상수항에서 2a_2=0이다. 다음 항들은 6a_3=a_0, 12a_4=a_1, 20a_5=a_2를 만족한다. 따라서 처음에는 y=a_0+a_1x+(a_0/6)x³+(a_1/12)x⁴+⋯가 된다. a_0와 a_1은 각각 원점 값과 기울기로, 두 독립적인 초기 정보가 필요한 이유를 보여 준다.
함수값과 도함수
초기조건을 y(0)=1,y′(0)=0으로 정한 해는 위 전개에서 1+x³/6+⋯로 시작한다. 이는 원리를 설명하는 초기값 해이며 Ai 자체의 원점 값을 1로 정했다는 뜻은 아니다. 수치 함수가 Ai,Ai′,Bi,Bi′를 반환한다면 첫 번째와 두 번째 값도 서로 다른 대상이다. 반환 순서를 바꾸면 경계조건이나 미분방정식 검증이 잘못될 수 있다.
수치 계산과 경계조건
입력 영역에 따라 급수, 근사식 또는 다른 특수함수 관계를 사용하는 계산법을 선택할 수 있다. 큰 값이나 매우 작은 값을 다룰 때는 지수적으로 척도화한 표현과 원래 함수값을 구분해야 한다. 미분방정식 잔차를 확인하는 일과 원하는 초기조건을 만족하는지 확인하는 일도 별개다. 같은 방정식을 만족해도 다른 선형결합이면 다른 경계값 문제의 해가 된다.