베타 함수로 정해지는 확률
B를 베타 함수라고 하면 P(X=k)=αB(k,α+1)이다. 감마 함수 관계를 사용하면 αΓ(k)Γ(α+1)/Γ(k+α+1)로도 쓸 수 있다. k는 양의 정수이며 기본형에서 0은 가능한 값이 아니다. 형상 α를 바꾸면 작은 값의 확률과 큰 값의 꼬리가 함께 달라진다.
형상이 1인 경우
α=1에서는 B(k,2)=1/(k(k+1))이므로 확률은 1/(k(k+1))다. 이는 1/k−1/(k+1)로 나타낼 수 있다. 따라서 1부터 N까지의 확률 합은 1−1/(N+1)이고 N을 무한히 보내면 1이 된다. 값 1,2,3의 확률은 각각 1/2,1/6,1/12이며 3보다 클 확률은 1/4다.
인접 확률과 평균
베타 함수 관계로 P(X=k+1)/P(X=k)=k/(k+α+1)을 얻는다. 이 비는 1보다 작아 확률질량이 감소하지만 큰 값이 평균에 미치는 영향까지 작다고 단정할 수는 없다. α=1의 예에서 평균을 계산하면 Σk/(k(k+1))=Σ1/(k+1)이 되어 발산한다. 확률 합이 유한한 것과 평균이 유한한 것은 별개의 조건이다.
지프 분포와 비교
큰 k에서 비슷한 거듭제곱 감소를 보이더라도 지프 분포와 확률식 전체가 같지는 않다. α=1인 율 사이먼 확률은 1/(k(k+1))이고 지프의 형상 2 확률은 1/(ζ(2)k²)이므로 작은 k에서도 값이 다르다. 꼬리의 모양만 보고 두 모형을 동일하게 다루지 말고 지지집합과 정규화, 관측 범위를 함께 비교해야 한다.