거듭제곱을 확률로 바꾸기
무한형의 확률질량은 P(X=k)=1/(ζ(a)k^a)다. ζ(a)는 양의 정수에 대한 1/k^a의 합인 리만 제타 함수다. a>1에서 이 합이 유한하므로 전체 확률을 1로 정규화할 수 있다. 이 조건을 빼고 무한한 범위에 a=1을 그대로 적용하면 조화급수가 발산해 같은 확률분포를 얻을 수 없다.
확률의 상대적인 크기
a=2이면 값 1,2,3,4의 상대 가중치는 1,1/4,1/9,1/16이다. 따라서 값 2의 확률은 값 1의 1/4이고 값 4는 값 2의 1/4다. ζ(2)=π²/6을 사용하면 P(X=1)=6/π²로 약 0.608이다. 이 비율은 기본 모형의 수학적 조건이며 실제 순위 자료에서 항상 그대로 관측된다는 뜻은 아니다.
유한 범위와 다른 정규화
가능한 순위를 1부터 N까지만 정하면 정규화 상수는 유한 합 Σ_{k=1}^N k^(−a)가 된다. 이 경우 a=1도 유한한 정규화가 가능하다. 무한형과 유한형은 가능한 값의 범위뿐 아니라 같은 k에 주는 확률도 다르다. 잘린 관측 자료를 분석할 때 무한 꼬리가 관측되지 않은 것인지 실제로 존재할 수 없는 것인지 구분해야 한다.
평균 존재와 자료 해석
양의 r차 모멘트의 합에는 k^(r−a)가 들어가므로 유한하려면 a>r+1이 필요하다. a=2인 무한형은 확률 합은 1이지만 평균은 유한하지 않다. 유한 표본 평균이 계산된다는 사실과 이론적 평균의 존재는 다르다. 순위에 따른 빈도가 감소한다는 현상 하나만으로 특정 지프 모형을 확정하지 말고 범위와 모수, 관측 절차를 함께 검토한다.