거듭제곱을 이용한 구성
척도 1의 기본 밀도는 |c|x^(ca−1)exp(−x^c)/Γ(a)다. Y=X^c로 바꾸면 Y는 형상 a, 척도 1인 감마 분포가 된다. c가 음수일 때 변환은 감소하므로 미분의 절댓값이 정규화에 중요하다. c라는 숫자를 단순히 또 하나의 감마 형상으로 읽는 것과는 다르다.
포함되는 특수형
c=1이면 기본 감마 밀도 x^(a−1)exp(−x)/Γ(a)를 얻는다. a=1이고 c가 양수면 cx^(c−1)exp(−x^c)로 와이블 형태가 된다. c=−1이면 x^(−a−1)exp(−1/x)/Γ(a)라서 기본 역감마 분포다. 같은 이름의 특수형이라도 이동과 척도를 추가한 규약은 별도로 맞춰야 한다.
제곱 변환의 예
a=2,c=2이면 Y=X²가 형상 2, 척도 1의 감마 분포다. 따라서 E[X²]=2이고 E[X⁴]=E[Y²]=6이다. X²의 분산은 6−2²=2다. 이 계산에서 X의 평균을 √2라고 바로 정할 수는 없다. 제곱근과 기댓값은 일반적으로 순서를 바꿀 수 없으므로 제곱평균과 평균을 구분해야 한다.
모수 해석과 비교
c의 부호를 바꾸면 변수 변환의 방향과 큰 값 쪽의 성질이 달라질 수 있다. 양의 r차 모멘트는 해당 적분이 수렴할 때 Γ(a+r/c)/Γ(a)로 표현된다. 감마 함수 값을 형식적으로 계산할 수 있다는 사실만으로 원래 적분이 수렴한다고 단정해서는 안 된다. 자료에 적용할 때는 모수 조건과 단위, 지지집합을 먼저 확인하고 더 많은 모수가 항상 더 나은 설명을 보장한다고 생각하지 않는다.