밀도로 정의하기
이동이 없는 기본 형태에서 밀도는 β^α x^(−α−1)exp(−β/x)/Γ(α)다. 여기서 Γ는 감마 함수다. x가 분모와 음의 거듭제곱에 등장하므로 일반적인 감마 밀도의 x와 같은 역할을 하지 않는다. β는 이 표현에서 역감마 변수의 척도로 작용하며, 다른 책의 모수 이름만 보고 동일한 수치라고 가정해서는 안 된다.
역수의 모수 관계
Y가 형상 α, 비율 β인 감마 분포를 따르면 X=1/Y는 위 식의 역감마 분포다. 감마 분포를 척도 θ로 쓰는 규약에서는 θ=1/β이므로 관계를 바꿔 읽어야 한다. 예를 들어 α=3, 역감마 척도 β=4라면 역수 Y의 감마 척도는 1/4이지 4가 아니다. 역수 변환과 모수의 역수 변환이 함께 나타나는 점에 유의한다.
평균과 최빈값의 차이
α>1에서 평균은 β/(α−1)이고, 밀도가 가장 높은 위치인 최빈값은 β/(α+1)이다. α=3, β=4이면 평균은 2, 최빈값은 1이다. 큰 값 쪽의 꼬리가 평균에 영향을 주므로 두 대표값이 다르다. α≤1에서는 평균이 유한하지 않으며, α>2일 때만 유한한 분산을 얻는다.
다른 이름의 표현과 비교
척도화 역카이제곱 분포를 자유도 ν와 척도 τ²로 표현하면 역감마 형상 ν/2, 척도 ντ²/2와 연결된다. ν=6, τ²=2이면 α=3, β=6이다. 이름이 다르더라도 같은 분포를 다른 모수로 표현할 수 있다는 예다. 실제 모형에서는 양의 변수 중 무엇을 나타내는지와 사용한 모수 규약을 함께 명시해야 한다.