크기와 제곱평균
양의 형상 m과 Ω에 대해 밀도는 2m^m r^(2m−1)exp(−mr²/Ω)/(Γ(m)Ω^m)로 나타낼 수 있다. 이 수학적 형태는 m>0에서 정규화되며, 응용 분야에서는 형상 범위를 더 제한하는 규약도 사용한다. Ω는 E[R²]이고 E[R]의 제곱이나 표준편차가 아니다. 모수의 이름보다 식과 허용 범위를 함께 확인해야 한다.
감마 변환으로 확인하기
Y=R²로 두면 Y는 형상 m, 척도 Ω/m인 감마 분포다. 따라서 E[Y]=m×Ω/m=Ω이고 Var(Y)=m(Ω/m)²=Ω²/m이다. 예를 들어 m=2, Ω=9이면 제곱한 크기의 평균은 9이고 분산은 40.5다. 여기서 40.5는 R 자체의 분산이 아니므로 제곱량과 크기량을 혼동하지 않아야 한다.
레일리 형태와의 관계
m=1이면 밀도가 (2r/Ω)exp(−r²/Ω)가 된다. 이를 레일리 밀도 (r/σ²)exp(−r²/(2σ²))와 비교하면 Ω=2σ²다. 예를 들어 레일리 척도 σ=3이면 대응하는 Ω는 18이다. Ω=3이나 9로 그대로 넣는 것은 서로 다른 척도를 사용하는 결과가 된다.
구현의 척도 표현
표준화한 형태의 제곱평균을 1로 두고 별도의 양의 척도 s를 곱하는 구현에서는 Ω=s²가 된다. 같은 m에서 s를 두 배로 바꾸면 크기는 두 배, 제곱평균은 네 배가 된다. 진폭의 분포를 맞췄다는 사실만으로 실제 신호의 발생 원인을 확정할 수는 없다. 측정 단위와 자료 변환, 모수 규약을 맞춘 뒤 다른 크기 분포와 비교한다.