두 행렬이 함께 정하는 값
일반 고유값 문제에서는 Av와 v가 같은 방향인지를 본다. 일반화한 문제에서는 Av와 Bv를 비교한다. 따라서 A만 고정돼 있어도 B가 달라지면 고유값이 달라질 수 있다. v=0은 어떤 λ에서도 식을 만족하므로 고유벡터로 허용하지 않는다. 벡터의 크기와 부호는 별도의 정규화 없이는 유일하지 않다.
대각 행렬의 예제
A의 대각 원소가 2,6이고 B의 대각 원소가 1,2라고 하자. v=(1,0)이면 Av=(2,0), Bv=(1,0)이므로 λ=2이다. v=(0,1)이면 Av=(0,6), Bv=(0,2)이므로 λ=3이다. A 자체의 일반 고유값 2,6과는 다르다. 두 행렬의 대응을 함께 고려해야 한다는 예제다.
역행렬로 바꾸는 조건
B가 가역이면 식을 B⁻¹Av=λv로 바꿀 수 있다. 하지만 이 등식이 수치 계산에서 B의 역행렬을 직접 만들어야 한다는 뜻은 아니다. B가 특이하면 이런 변환 자체를 사용할 수 없다. 대칭성과 양의 정부호 같은 행렬 구조가 있을 때는 그 구조에 맞는 알고리즘과 정규화 조건을 검토한다.
특이한 경우와 검증
B가 특이한 일반화 문제에서는 무한 고유값이나 더 복잡한 퇴화 구조를 구분해야 할 수 있다. 모든 결과를 단순한 실수 비율로 해석할 수는 없다. 수치 표현에서 고유값을 분자와 분모의 쌍으로 다루는 경우도 있다. 계산한 유한 고유값과 벡터는 Av-λBv의 잔차를 확인하고, 벡터 크기와 행렬 크기를 고려해 평가한다. 작은 잔차가 민감도가 낮다는 보장은 아니다.