입력 범위만 좁힌다
실수 전체에서 f(x)=x²를 정의한 뒤 S=[0,∞)로 제한하면 같은 제곱 규칙을 음이 아닌 실수에서만 사용한다. 함수식이 같아도 정의역이 달라진 새 함수로 구별한다.
값을 바꾸면 제한이 아니다
S 안의 어떤 x에서든 새 함수값은 f(x)와 같아야 한다. 입력 범위를 좁히면서 함수식도 다르게 고쳤다면 원래 함수의 제한이라고 바로 부를 수 없다.
일대일 성질의 변화
제곱 함수는 실수 전체에서 일대일이 아니지만 음이 아닌 실수로 제한하면 일대일이다. 제한은 서로 같은 출력을 내던 입력 중 일부를 제외할 수 있다. 반대로 일대일 함수의 제한은 여전히 일대일이다.
공역을 함께 확인한다
정의역을 제한해도 공역을 그대로 둘 수 있다. 공역을 바꾸는 작업과 정의역을 좁히는 작업은 구별해야 한다. 전사성이나 역함수의 존재를 판단할 때는 정의역과 공역을 모두 명시한다.