모두보다 크거나 같음
S={1,3,8}에서 보통 수의 순서를 쓰면 8이 최대원이다. 10도 모든 원소보다 크지만 S에 속하지 않으므로 최대원이 아니라 상계일 뿐이다.
집합의 포함 관계
{{1},{2},{1,2}}를 포함 관계로 순서 매기면 {1,2}는 최대원이다. 다른 두 집합이 모두 그 안에 포함되기 때문이다. 최대라는 말은 원소의 숫자 값이 클 때만 쓰는 개념이 아니다.
극대원과의 차이
극대원은 자신보다 엄격히 큰 원소가 없는 경우다. 최대원은 다른 모든 원소와 비교해 크거나 같아야 한다. 비교되지 않는 여러 극대원이 있어도 최대원은 없을 수 있다.
유일성과 상한
두 최대원이 있다면 서로 작거나 같으므로 반대칭성에 따라 같다. 최대원은 상계들 가운데 가장 작기도 하므로 상한과 일치한다. 반대로 상한이 집합 밖에 있으면 최대원은 아니다.