최적화 동적 모드 분해

전체 표본을 함께 맞추기

일정 간격의 두 관측 사이 전이를 먼저 추정하는 기본 방식과 달리 각 실제 시각 tⱼ에서 지수 함수 exp(ωₖtⱼ)를 평가해 전체 재구성 오차를 줄인다. 성장률이나 주파수를 담는 ωₖ가 바뀌면 시간 함수 행렬도 달라진다. 모드 수는 별도로 선택해야 한다.

불균등 시각의 예제

시각이 0,1,3이고 스칼라 관측이 2,1,0.25라면 x(t)=2exp(−ln(2)t)가 세 값을 정확히 맞춘다. 마지막 간격은 앞 간격의 두 배이므로 두 인접 관측을 모두 한 단계 변화로 취급하면 비율이 1/2와 1/4로 다르게 보인다. 실제 시각을 사용하면 같은 감쇠율로 설명된다.

변수 투영의 역할

비선형 성장률을 임시로 고정하면 각 시간 함수의 계수와 공간 모드는 선형 최소제곱으로 구할 수 있다. 이 선형 부분을 풀어 없앤 잔차를 이용해 비선형 매개변수를 조정하는 것이 변수 투영의 핵심이다. 모든 매개변수를 한꺼번에 자유 변수로 두는 것과 계산 구조가 다르다.

최적화가 보장하지 않는 것

남은 문제는 비선형이고 일반적으로 초기값과 국소해의 영향을 받는다. 전체 표본을 사용한다고 모든 잡음 모형에서 편향이 없어지거나 전역 최소점을 찾는 것은 아니다. 모드 수를 늘리면 학습 오차만 줄어들 수 있으므로 다른 시각의 예측과 성장률의 안정성도 점검한다.