변환된 넓이로 읽기
평면의 선형 변환은 단위 정사각형을 평행사변형으로 옮긴다. 실수 2×2 행렬에서 행렬식의 절댓값은 이 변환에 따른 넓이의 배율이다. 3차원에서는 부피, 더 높은 차원에서는 그에 대응하는 부피 배율로 해석한다.
행렬식의 부호는 방향 보존 여부와 관계된다. 음수이면 방향이 뒤집힌다. 부호가 음수라는 이유로 넓이나 부피 자체가 음수인 것은 아니다.
작은 행렬의 계산
첫째 행이 a, b이고 둘째 행이 c, d인 2×2 행렬의 행렬식은 ad−bc다. 예를 들어 첫째 행이 3, 1이고 둘째 행이 2, 4이면 행렬식은 12−2=10이다.
이 두 대각선 곱의 차라는 규칙을 큰 행렬에 그대로 확장할 수는 없다. 일반적인 크기에서는 행 연산이나 여인수 전개 등 올바른 방법을 사용해야 한다. 수치 계산에서는 효율과 오차도 함께 고려한다.
0이라는 값이 알려 주는 것
실수나 복소수 정사각 행렬의 행렬식이 0이면 열벡터들이 선형 종속이며 역행렬이 존재하지 않는다. 변환이 일부 방향의 정보를 잃어버려 결과만으로 원래 입력을 유일하게 복원할 수 없다는 뜻이다.
행렬식이 0이 아니면 역행렬이 존재한다. 다만 값이 크다는 사실만으로 모든 계산이 안정적이라고 판단할 수는 없다. 수치적 민감도는 조건수처럼 다른 지표로 평가해야 한다.
행 연산과 곱셈의 성질
두 행을 맞바꾸면 행렬식의 부호가 바뀌며, 한 행을 k배 하면 행렬식도 k배가 된다. 한 행에 다른 행의 배수를 더하는 연산은 행렬식을 바꾸지 않는다. 이 성질을 이용해 삼각행렬 형태로 바꾸면 계산을 줄일 수 있다.
같은 크기의 정사각 행렬 A와 B에 대해서 det(AB)=det(A)det(B)가 성립한다. 그러나 덧셈에 대해 같은 방식으로 분리되지는 않는다. 일반적으로 det(A+B)는 det(A)+det(B)와 다르다.