헤시안 고유사상

일차 변화와 이차 변화

한 좌표 t에서 f(t)=3t+2는 일차 미분이 3이지만 이차 미분은 0이다. g(t)=t²는 이차 미분이 2다. 따라서 이차 변화량을 작게 하는 조건은 모든 함수값을 일정하게 만들라는 조건과 다르다. 상수뿐 아니라 선형 좌표 함수도 헤시안이 0이 될 수 있다.

접좌표에서 계산하는 이유

구부러진 다양체는 주변 유클리드 공간의 좌표로 보면 비선형일 수 있다. 이웃의 접공간을 근사해 국소 좌표를 만들고 그 위에서 이차 항을 추정한다. 주변 공간의 원래 좌표에서 이차 미분을 계산한 값과 항상 같은 대상은 아니다. 이웃의 방향 선택에 맞는 일관된 구성이 필요하다.

작은 고유값에서 좌표 찾기

여러 이웃의 헤시안 제곱 비용을 모아 전역적인 이차 형식을 구성하고 작은 고유값에 대응하는 공간을 찾는다. 이론적 조건에서는 상수 함수와 내재 좌표 함수가 영공간을 만든다. 상수 방향을 제외하고 나머지를 좌표로 해석하며 좌표의 회전과 이동 같은 자유도가 남을 수 있다.

기하 가정과 표본의 한계

대표 이론은 다양체가 유클리드 영역과 국소 등거리라는 조건을 사용하며 임의의 곡면에 동일한 복원 결론이 성립하는 것은 아니다. 표본에서 이차 구조를 추정하려면 이웃에 충분한 점과 적절한 배치가 필요하다. 잡음과 잘못된 내재 차원, 이웃 크기는 작은 고유값 공간을 불안정하게 만들 수 있다.