단계별로 가환 몫군 얻기
G=G₀⊇G₁⊇…⊇Gᵣ={e}에서 각 Gᵢ₊₁이 Gᵢ의 정규부분군이고 Gᵢ/Gᵢ₊₁이 가환군이면 G는 가해군이다. 각 항이 G 전체에서 정규일 필요까지 요구하는 정의와 혼동하지 않도록 정규 포함의 범위를 명시해야 한다.
S₃의 경우
S₃⊇A₃⊇{e}를 보자. A₃는 S₃의 정규부분군이고 S₃/A₃는 위수가 2인 순환군이다. A₃ 자체도 위수가 3인 순환군이므로 두 몫군이 모두 가환이다. 따라서 S₃는 비가환군이지만 가해군이다.
가환군과 부분군
가환군은 G⊇{e}라는 한 단계 열로 조건을 만족한다. 가해군의 부분군도 가해군이다. 반면 대칭군 Sₙ은 n≤4에서는 가해군이지만 n≥5에서는 가해군이 아니다. 군의 원소를 순열로 표현할 수 있다는 사실만으로 가해성이 결정되지는 않는다.
방정식과의 연결
이 이름은 다항방정식의 근호에 의한 풀이를 다루는 갈루아 이론과 연결된다. 그러나 단지 차수가 5 이상이라는 이유로 모든 개별 방정식이 근호로 풀리지 않는다는 뜻은 아니다. 방정식의 구체적인 갈루아 군을 확인해야 하며, 일반적인 공식의 부재와 개별 방정식의 성질은 구별된다.