결합법칙과 교환법칙
결합법칙은 (ab)c=a(bc)처럼 괄호의 위치에 관한 조건이고 교환법칙은 ab=ba처럼 원소의 순서에 관한 조건이다. 모든 군에는 결합법칙이 있지만 모든 군이 가환인 것은 아니다. 덧셈 기호를 쓰는 군에서는 가환성을 a+b=b+a로 나타낸다.
덧셈과 행렬의 예
정수나 실수의 덧셈은 순서를 바꿔도 같으므로 가환군을 이룬다. 반면 가역행렬들의 곱셈군은 일반적으로 가환이 아니다. 일부 두 행렬이 서로 교환한다는 사실만으로 전체 행렬군이 가환이라고 말할 수는 없으며 모든 원소 쌍에서 조건이 성립해야 한다.
순환군보다 넓은 개념
하나의 원소로 생성되는 순환군은 언제나 가환군이다. 그러나 좌표별로 2를 법으로 더하는 순서쌍들의 군에서는 모든 원소가 교환해도 하나의 원소로 네 원소 전체를 생성할 수 없다. 따라서 가환군과 순환군은 같은 개념이 아니다.
부분군의 정규성
가환군의 부분군 H에서는 gHg⁻¹=H가 자동으로 성립하므로 모든 부분군이 정규부분군이다. 이에 따라 어떤 부분군으로도 몫군을 만들 수 있다. 이 성질을 일반적인 비가환군에 조건 없이 적용해서는 안 된다.